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Mathematik

Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen

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WINKELBERECHNUNGEN

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Dieser Kurs beinhaltet Aufgaben zu:

Winkel zwischen zwei Vektoren
Innenwinkel eines Dreiecks berechnen
Schnittwinkel zwischen zwei Geraden
Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen
Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

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KURZ ERKLÄRT
WINKELBERECHNUNGEN

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{⏟}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel $α$ zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Dabei steht

| \vec{a} |

bzw.

| \vec{b} |

für die Länge des Vektors

\vec{a}

bzw.

\vec{b}

Spitzer Winkel zwischen zwei Vektoren

Für den spitzen Winkel

α

zwischen zwei Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

gilt:

\cos α = \frac{| \vec{a} \circ \vec{b} |}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} \Rightarrow α = \cos^{- 1} (\frac{| \vec{a} \circ \vec{b} |}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |})

Durch die Betragsstriche im Zähler des Skalarprodukts wird immer der spitze Winkel bestimmt.

Winkel zwischen zwei Geraden

Der spitze Winkel

α

zwischen zwei Geraden

g

und

h

entspricht dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren

\vec{R V_{g}}

und

\vec{R V_{h}}

der Geraden.

\cos α = \frac{| \vec{R V_{g}} \circ \vec{R V_{h}} |}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{R V_{h}} |}

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der spitze Winkel

α

zwischen zwei Ebenen

E

und

H

entspricht dem Winkel zwischen den Normalenvektoren

\vec{n_{E}}

und

\vec{n_{H}}

der Ebenen.

\cos α = \frac{| \vec{n_{E}} \circ \vec{n_{H}} |}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{H}} |}

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der Sinus des Schnittwinkels

α

zwischen einer Geraden

g

und einer Ebene

E

ist gegeben durch:

\sin α = \frac{| \vec{R V_{g}} \circ \vec{n_{E}} |}{| \vec{R V_{g}} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

wobei

\vec{R V_{g}}

der Richtungsvektor der Geraden und

\vec{n_{E}}

der Normalenvektor der Ebene ist.

SO FUNKTIONIERT UNTERRICHT.DE

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkelberechnung

Winkel Gerade - Ebene

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