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Mathematik

Vektorprodukt / Kreuzprodukt berechnen

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VEKTORPRODUKT

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Dieser Kurs beinhaltet Aufgaben zu:

Vektorprodukt zweier Vektoren berechnen
Senkrechten Vektor zu zwei gegebenen Vektoren bestimmen
Senkrechter Vektor mit bestimmter Länge finden

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KURZ ERKLÄRT
VEKTORPRODUKT

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor. Dieser steht senkrecht auf den beiden Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

Das Vektorprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array})

und

\vec{b} = (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array})

ist gegeben durch:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \times (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{array})

Beispiel:

(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ - 3 \end{array})

Ob man richtig gerechnet hat, kann mit dem Skalarprodukt überprüft werden.

Das Skalarprodukt zwischen dem Ergebnisvektor des Vektoprodukts und den Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

muss jeweils Null ergeben.

Probe:

(\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = - 3 + 12 - 9 = 0

(\begin{array}{c} - 3 \\ 6 \\ - 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array}) = - 12 + 30 - 18 = 0

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