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Mathematik

Ebene in Normalenform (Koordinatenform) umwandeln

 
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MATHEMATIK-ÜBUNGEN ZU

EBENEN IN NORMALENFORM
 

kostenloser Kurs
 
Dieser Kurs beinhaltet Aufgaben zu:
  • Ebenengleichung in Normalenform
  • Ebenengleichung in Koordinatenform
  • Ebene in Normalenform aus Punkt und Normalenvektor
  • Ebene in Normalenform aus Punkt und Gerade
  • Ebene in Normalenform aus zwei parallelen Geraden
  • Ebene in Normalenform aus zwei sich schneidenden Geraden
  • Parameterform in Normalenform umwandeln
 
Beispielaufgaben als PDF downloaden zum Kurs Ebenen in Normalenform umwandeln - Übungsaufgaben - Video
 
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KURZ ERKLÄRT
EBENEN IN NORMALENFORM


Die Punkte auf einer Ebene in Normalenform werden durch folgende Gleichung beschrieben:
E:XnE=PnE

X steht stellvertretend für einen Punkt auf der Ebene
P ist der Ortsvektor des Aufpunkts
nE ist der sogenannte Normalenvektor der Ebene
ist das Symbol für das Skalarprodukt


Der Normalenvektor der Ebene hat die Eigenschaft senkrecht auf der Ebene zu stehen.


Beispiel:

Sei P(123) der Aufpunkt der Ebene E und nE=232 der Normalenvektor der Ebene.

E:X232nE=123P232nE

E:X232=2+66

E:X232=2


Ersetzt man X durch x1x2x3 (das sind die allgemeinen Koordinaten eines Punktes der Ebene) und führt das Skalarprodukt auf der linken Seite aus, so erhält man aus der Normalenform die sogenannte Koordinatenform der Ebene E.

E:x1x2x3232=2

E: 2x1+ 3x2 2x3=2


An der Koordinatenform kann man die Koordinaten des Normalenvektors ablesen.

Aus praktischen Gründen wird die Koordinatenform der Normalenform bevorzugt.


Parameterform in Normalenform umwandeln


Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, so kann diese in Normalenform umgewandelt werden.

Ebene in Parameterform: E:X=123P+λ202u+μ221v

Man bildet zuerst das Vektorprodukt u×v der Richtungsvektoren u und v der Ebene. Der resultierende Vektor steht senkrecht auf den Richtungsvektoren.
u×v=202×221=464

Um ein späteres Weiterrechnen zu erleichtern, sollte man diesen Vektor soweit wie möglich vereinfachen:
nE=12464=232

Jetzt braucht man nur die Vektoren nE und P in die Gleichung für die Normalenform einsetzen:
E:X232nE=123P232nE
E: 2x1+3x22x3=2
 

SO FUNKTIONIERT UNTERRICHT.DE

Übungsaufgaben zu Ebenen in Normalenform

 
 

VERWANDTE KURSE

Kurse für Ebenengleichung:

Ebenen in Parameterform

 

VIDEOS ZUM KURS

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Die Ebene in Parameterform - Unterrichtsstunde
 
 
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Ebene aus zwei Geraden - Unterrichtsstunde
 
 
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Ebenengleichung in Normalenform
 
 
Video
Vektorprodukt zweier Vektoren (Kreuzprodukt)