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Mathematik

Grenzwert für x gegen eine Zahl - Polstellen und senkrechte Asymptoten

 
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MATHEMATIK-ÜBUNGEN ZU

GRENZWERTE AN EINER STELLE
 

kostenloser Kurs
 
Dieser Kurs beinhaltet Aufgaben zu:
  • Grenzwerte an einer Stelle bestimmen
  • Grenzwert einer gebrochen-rationalen Funktion an einer Definitionslücke
  • Senkrechten Asymptoten berechnen
  • Unterschied zwischen Polstelle und hebbare Definitionslücke
  • Vorzeichenwechsel an einer Polstelle untersuchen
  • Polstelle und ihre Art am Graphen der Funktion angeben
  • An der Funktionsgleichung erkennen, ob eine Polstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel vorliegt
 
Beispielaufgaben als PDF downloaden zum KursGrenzwerte an einer Stelle - Übungsaufgaben mit Videos
 
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KURZ ERKLÄRT
GRENZWERTE AN EINER STELLE


Als Grenzwert einer Funktion an einer Stelle bezeichnet man das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines angegebenen x-Werts.

Beispiel:
f(x)=1x3


Graph Gf der Funktion:



Anschaulich lässt sich erkennen, dass sich der Graph der Funktion an der Stelle x=3 besonders verhält.

Nähert man sich dem x-Wert 3 von rechts, so werden die y-Werte der Funktion immer positiver.

Nähert man sich dem x-Wert 3 von links, so werden die y-Werte der Funktion immer negativer.



Dies lässt sich auch mathematisch bestimmen, ohne den Graphen der Funktion vor Augen zu haben:

Hierzu wird der Grenzwert der Funktion an der betreffenden Stelle ermittelt.


Annäherung an x=3 "von rechts" (rechtsseitiger Grenzwert):
limx3+1(x3)0+=+

Setzt man in die Funktionsgleichung Werte für x ein, die sich an den Wert 3 "von rechts" nähern (also z.B. 3,3; 3,2; 3,1, etc.), dann nimmt der Nenner x3 immer kleiner werdende positive Werte an, die gegen Null gehen ("0+").


Annäherung an x=3 "von links" (linksseitiger Grenzwert):
limx31(x3)0=

Setzt man in die Funktionsgleichung Werte für x ein, die sich an den Wert 3 "von links" nähern (also z.B. 2,7; 2,8; 2,9, etc.), dann nimmt der Nenner x3 immer größer werdende negative Werte an, die gegen Null gehen ("0").


Für die Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion an einer Stelle sollte der Nenner der Funktion immer in faktorisierter Schreibweise (in Linearschreibweise) angegeben werden.

Beispiel:
limx2+1x24=limx2+1(x2)(x+2)

Hierzu werden zunächst die Nullstellen des Nenners ermittelt (meist bereits beim Definitionsbereich bestimmt) anschließend wird der Term in Linearfaktoren angegeben.


Ein Sonderfall liegt vor, wenn eine Nennernullstelle auch eine Zählernullstelle ist.

Beispiel:
f(x)=x3(x3)(x+1)

Hier muss die Funktion erst gekürzt werden. Erst dann kann die Bestimmung des Grenzwertes erfolgen.
 

SO FUNKTIONIERT UNTERRICHT.DE

Übungsaufgaben zu Grenzwerte an einer Stelle

 
 

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VIDEOS ZUM KURS

Video
Verhalten einer Funktion an einer Definitionslücke (senkrechte Asymptote)
 
 
Video
Polstelle und ihre Art
 
 
Video
Vorzeichenwechsel bei einer Polstelle
 
 
Video
Funktionsterm bestimmen
 
 
Video
Polstellen und hebbare Definitionslücken
 
 
 
 
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