Flächeninhalt bestimmen (Dreieck, Rechteck, Parallelogramm)

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Der Flächeninhalt eines Rechtecks bzw. Parallelogramms ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist gegeben durch die Formel:


Der Flächeninhalt eines Dreiecks ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist gegeben durch die Formel:


Dabei ist ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}×\stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) der Vektoren ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.


Geometrische Interpretation:

Das Vektorprodukt ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}×\stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist gleich einem Vektor, der senkrecht auf den Vektoren ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ steht.

Seine Länge, also ${\displaystyle |\stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}×\stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|}$, entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ aufgespannten Parallelogramms ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Die Hälfte dieser Fläche entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \stackrel{→}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ aufgespannten Dreiecks ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.